Question

【題目】已知數(shù)列，若對任意的，，，存在正數(shù)使得，則稱數(shù)列具有守恒性質，其中最小的稱為數(shù)列的守恒數(shù)，記為.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列且公差為，前項和記為.

①證明：數(shù)列具有守恒性質，并求出其守恒數(shù).

②數(shù)列是否具有守恒性質？并說明理由.

（2）若首項為1且公比不為1的正項等比數(shù)列具有守恒性質，且，求公比值的集合.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，.②數(shù)列不具有守恒性質.見解析（2）

【解析】

（1）①運用等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列具有守恒性質可得結論；

②數(shù)列不具有守恒性質，運用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質可得結論；

（2）討論，，由等比數(shù)列的通項公式和不等式的性質，構造數(shù)列，運用單調性，即可得到所求范圍．

解：（1）①因為是等差數(shù)列且公差為，所以，

所以對任意，，

恒成立，

所以數(shù)列具有守恒性質，且守恒數(shù).

②假設數(shù)列具有守恒性質，因為，所以存在實數(shù)，

.

若，則當時，，矛盾；

若，則當時，，矛盾.

所以數(shù)列不具有守恒性質.

（2）顯然且，因為，所以.

因為數(shù)列具有守恒性質，

所以對任意，，存在正數(shù)使得，

即存在正數(shù)，對任，都成立.

（i）若，等比數(shù)列遞增，不妨設，則，

即，

設，由式中的，任意性可知，數(shù)列不遞增，

所以對任意恒成立.

而當，，

所以不符題意.

（ii）若，則數(shù)列單調遞減，不妨設，則，

即，

設，由式中的，任意性可知，數(shù)列不遞減，

所以對任意恒成立，

所以對任意恒成立，

顯然，當，時，單調遞減，

所以當時，取得最大值，

所以.

又，故，即.

綜上所述，公比的取值集合為.