Question

【題目】在三棱錐A-BCD中，平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC, ，若此三棱錐的外接球表面積為，則三棱錐A-BCD體積的最大值為（ ）

A.7B.12C.6D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為R，三棱錐的外接球球心為O，△ABC的外心為O1，△ABC的外接圓半徑為r，取DC的中點為O2，過O2作O2E⊥AC，則OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，連結OA，O1A，則O1A＝r，設AD＝AC＝b，則OO1＝O2Eb，由S＝4πR2＝28π，解得R，由正弦正理求出b，若三棱錐A﹣BCD的體積最大，則只需△ABC的面積最大，由此能求出三棱錐A﹣BCD的體積的最大值．

根據題意，設三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為R，

三棱錐的外接球球心為O，

△ABC的外心為O1，△ABC的外接圓半徑為r，

取DC的中點為O2，過O2作O2E⊥AC，

則OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，

如圖，連結OA，O1A，則O1A＝r，

設AD＝AC＝b，則OO1＝O2Eb，

由S＝4πR2＝28π，解得R，

在△ABC中，由正弦正理得2r，

∴2r，解得b，

在Rt△OAO1中，7＝r2+（）2，解得r＝2，b＝2，∴AC＝2，

若三棱錐A﹣BCD的體積最大，則只需△ABC的面積最大，

在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

∴12＝AB2+BC2﹣ABBC≥2ABBC﹣ABBC，

解得ABBC≤12，

∴3，

∴三棱錐A﹣BCD的體積的最大值：

6．

故選：C．