Question

設函數f（x）=sinx|sinx-a|-4，若a=1時，f（x）的最小值是

 

；若對任意x∈[0，

π

2

]，f（x）≤0恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：第一問把a=1代入，把函數轉化為關于sinx的二次函數，利用換元法和二次函數的性質求得函數的最小值．
第二問，利用不等式的性質把f（x）≤0恒成立恒等轉化為t-

4

t

≤a≤t+

4

t

的問題，分別求得t+

4

t

的最小值和t-

4

t

的最大值，進而取得a的范圍．

解答： 解：①∵sinx≤1，a=1，
∴f（x）=sinx（a-sinx）-4=-sin²x+sinx-4，
令sinx=t，則-1≤t≤1
則f（t）=-t²+t-4，對稱軸為t=

1

2

，開口向下，
故t=-1時函數有最大值f（-1）=-1-1-4=-6，
即函數f（x）的最小值為-2，
②f（x）≤0恒成立，
即sinx|sinx-a|≤4，恒成立，設sinx=t，
則t∈[0，1]，即t|t-a|≤4，
|t-a|≤

4

t

，
∴-

4

t

≤t-a≤

4

t

，
即t-

4

t

≤a≤t+

4

t

，
∵t+

4

t

≥

4

=4，
∴a≤4，
∵f（t）=t-

4

t

單調增，f（t）_max=f（1）=-3，∴a≥-3，
綜合知-3≤a≤4，
故答案為：-6，[-3，4]

點評：本題主要考查了二次函數的性質，不等式的解法及應用．考查了學生分析和推理的能力．