Question

已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定義{x}=x-[x]，則：
（1）設函數(shù)f（x）=

x        x≥0 f(x+1)  x＜0

，則函數(shù)y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的不同零點有

 

個；
（2）{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象，畫出直線y=

1

4

（x+1），通過圖象觀察即可判斷函數(shù)零點的個數(shù)；
（2）通過二項式定理推得2013ⁿ=2014k+（-1）ⁿ，{

2013n

2014

}=

1

2014

（n為偶數(shù)）或

2013

2014

（n為奇數(shù)），即可得到答案．

解答： 解：（1）如圖畫出函數(shù)f（x）的圖象，
畫出直線y=

1

4

（x+1），通過圖象觀察，它們有兩個交點，即函數(shù)y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的不同零點有兩個．
（2）2013ⁿ=（2014-1）ⁿ=2014ⁿ-C

1 n

2014^n-1+
C

2 n

2014^n-2+…+（-1）ⁿ=2014k+（-1）ⁿ，
∴

2013n

2014

=k+

(-1)n

2014

，{

2013n

2014

}=

1

2014

（n為偶數(shù)）或

2013

2014

（n為奇數(shù)）
∴{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=（

2013

2014

+

1

2014

）+（

2013

2014

+

1

2014

）+…+（

2013

2014

+

1

2014

）=1007．
故答案為：2，1007．

點評：本題考查分段函數(shù)的圖象及應用，考查通過圖象觀察交點個數(shù)，判斷函數(shù)零點個數(shù)，同時考查新定義的理解和運用，屬于中檔題．