Question

如圖，在?ABCD中，AB=

2

，BC=3，且∠ABC=45°，以BC為一直角邊在BC的下方作Rt△EBC，BE=2．連結(jié)BD，過點E作EF平行BD，且EF=BD（點D，F(xiàn)在直線BE的同側(cè)），則?ABCD與△BEF的面積之比為

 

．

Answer 1

考點：三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：S_{平行四邊形ABCD}=AB•BC•sin45°．在△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos135°．在△ABD中，由正弦定理可得

AB

sin∠ADB

=

BD

sinA

，可得sin∠ADB=

ABsinA

BD

，于是可得cos∠ADB．因此點D到直線BE的距離h=BDcos∠ADB=4．由于四邊形BEFD為平行四邊形，可得D與F到直線BE的距離相等．可得△BEF的面積S_△BEF=

1

2

BE•h即可．

解答： 解：S_{平行四邊形ABCD}=AB•BC•sin45°=

2

×3×

2

2

=3．
在△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos135°=(

2

)2+32-2×

2

×3×(-

2

2

)=17，
∴BD=

17

．
在△ABD中，由正弦定理可得

AB

sin∠ADB

=

BD

sinA

，
∴sin∠ADB=

ABsinA

BD

=

2 ×sin135°

17

=

17

17

，
∴cos∠ADB=

4 17

17

．
∴點D到直線BE的距離h=BDcos∠ADB=4．
∵四邊形BEFD為平行四邊形，∴D與F到直線BE的距離相等．
∴△BEF的面積S_△BEF=

1

2

BE•h=

1

2

×2×4=4．
∴平行四邊形ABCD與△BEF的面積之比為3：4．
故答案為：3：4．

點評：本題綜合考查了三角形的正弦定理、余弦定理、平行四邊形的面積、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．