Question

已知

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）證明：

a

⊥

b

；
（2）若存在實數k和t，滿足

x

=（t，2）

a

+（t²-t-5）

b

，

y

=-k

a

+4

b

，且

x

⊥

y

，試求出k關于t的關系式k=f（t）．
（3）根據（2）的結論，試求出k=f（t）在（-2，2）上的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：（1）由

a

•

b

=0判定

a

⊥

b

；
（2）由

x

⊥

y

得

x

•

y

=0，求出k關于t的關系式；
（3）由k關于t的關系式k=f（t），利用基本不等式求出t∈（-2，2）時的最小值．

解答： 解：（1）∵

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

；
（2）∵

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=0，
即-4k（t+2）+4（t²-t-5）=0；
∴k=

t2-t-5

t+2

（t≠2）；
（3）∵k=

t2-t-5

t+2

=

(t+2)2-5(t+2)+1

t+2

=（t+2）+

1

t+2

-5，
設t+2=m，∵t∈（-2，2），∴m∈（0，4）；
∴k=m+

1

m

-5在m∈（0，1）上是減函數，在m∈（1，4）上是增函數；
∴當m=1時，k_min=-3，此時t=-1．

點評：本題考查了平面向量的應用問題和求函數的最值問題，解題時應根據平面向量的數量積判定兩向量垂直，由兩向量垂直，它們的數量積為0，是綜合題．