Question

設

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），c=（1，0），α∈（0，π），β∈（0，π），

a

與

c

的夾角為θ₁，

b

與

c

的夾角為θ₂．
（1）用α表示θ₁；
（2）若θ₁-θ₂=

π

6

，求sin

α+β

4

的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的坐標表示、模、夾角,三角函數中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的夾角公式、倍角公式即可得出；
（2）利用向量的夾角公式可得θ₂，進而得出答案．

解答： 解：（1）|

a

|=

(1+cosα)2+sin2α

=

2+2cosα

，|

c

|=1，

a

•

c

=1+cosα．
∵

a

•

c

=|

a

| |

c

|cosθ₁，∴cosθ₁=

1+cosα

2+2cosα

=

1+cosα 2

=

cos2 α 2

，
∵α∈（0，π），∴

α

2

∈(0，

π

2

)，∴θ1=

α

2

．
（2）|

b

|=

(1-cosβ)2+sin2β

=

2-2cosβ

，

b

•

c

=1-cosβ．
∵

b

•

c

=|

b

| |

c

|cosθ₂，
∴cosθ₂=

1-cosβ

2-2cosβ

=

sin2 β 2

=sin

β

2

=cos(

π

2

-

β

2

)（β∈（0，π））．
∴θ2=

π

2

-

β

2

．
∵θ₁-θ₂=

π

6

，∴

α+β

2

=

2π

3

．
∴sin

α+β

4

=sin

π

3

=

3

2

．

點評：本題考查了向量的夾角公式、倍角公式、同角三角函數基本關系式，屬于中檔題．