Question

已知函數f（x）=ax2-2x+3．
（1）當a＞1時，求f（x）的單調區間，并指明增減性；
（2）當x∈[0，2]時有最小值8，求a的值．

Answer 1

考點：復合函數的單調性,冪函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用復合函數的單調性的性質能求出當a＞1時，f（x）的單調區間．
（2）由x∈[0，2]，知t=x²-2x+3=（x-1）²+1∈[1，2]，由此根據a的取值范圍進行分段討論，能求出a=8．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax2-2x+3，
t=x²-2x+3是開口向上，對稱軸為x=1的拋物線，
∴t=x²-2x+3的單調遞增區間為[1，+∞），單調遞減區間為（-∞，1]．
∴當a＞1時，f（t）=a^t是增函數，
由復合函數的單調性知：
f（x）的單調遞增區間為[1，+∞），
單調遞減區間為（-∞，1]．
（2）∵x∈[0，2]，∴t=x²-2x+3=（x-1）²+1∈[1，2]，
∵當x∈[0，2]時有最小值8，
∴0＜a＜1時，f（x）_min=a²=8，解得a=±2

2

，不舍題意，舍去，
a＞1時，f（x）_min=a=8．
綜上所述，a=8．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．