Question

【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；

（2）求圖2中的點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由平行的傳遞性可證得，即可說明四點(diǎn)共面；由和直角梯形可知，利用線面垂直的判定定理可證得平面，進(jìn)而，分別在直角梯形和直角梯形中由勾股定理求得和，再由勾股定理逆定理可知，從而平面，即可證得平面平面.

（2）計(jì)算等腰直角三角形中邊上的高，由線面平行的性質(zhì)可知，點(diǎn)到平面的距離，分別計(jì)算三角形的面積和的面積，由等體積法構(gòu)建方程，可求得點(diǎn)到平面的距離.

（1） 證明：因?yàn)檎�方�?/span>中，，梯形中，， 所以，

所以四點(diǎn)共面；

因?yàn)?/span>， 所以， 因?yàn)?/span>，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面， 所以，

在直角梯形中，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，

又因?yàn)?/span>，

則，

由勾股定理逆定理可知，

因?yàn)?/span>， 所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

故平面平面， 即平面平面.

（2）在等腰直角三角形中，邊上的高為1， 所以點(diǎn)到平面的距離等于1，

因?yàn)?/span>與平面平行， 所以點(diǎn)到平面的距離，

三角形的面積，

中，邊上的高為，

又因?yàn)?/span>的面積，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由三棱錐的體積，

得， 故點(diǎn)到平面的距離為.