Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓C:(>>0)的右焦點為F(1，0)，且過點(1，)，過點F且不與軸重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點P在橢圓上，且滿足.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

（1）代入橢圓方程，結合關系，即可求出橢圓標準方程；

（2）設直線方程，與橢圓聯立，利用韋達定理，得出兩點的坐標關系，進而求出點坐標，代入橢圓方程，即可求出直線方程.

(1)由題意可知，=1，且

又因為，

解得，，

所以橢圓C的標準方程為；

(2)若直線AB的斜率不存在，則易得，，

∴，得P(，0)，

顯然點P不在橢圓上，舍去；

因此設直線的方程為，設，，

將直線的方程與橢圓C的方程聯立，

整理得，

∴，

則由

得

將P點坐示代入橢圓C的方程，

得(*)；

將代入等式(*)得

∴

因此所求直線AB的方程為.