Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點．

（1）求線段AF的中點M的軌跡方程；

（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設線段AF的中點的坐標為，，即可求得，將它們代入即可得解。

（2）設，由△AOB的面積是△BOF面積的3倍可得：直線的斜率存在，且的面積是面積的2倍，即可整理得：，設直線的方程為：，聯立直線方程與拋物線方程可得：，，結合即可求得：，問題得解。

（1）設線段AF的中點的坐標為，

由拋物線的方程可得：焦點

由中點坐標公式可得：

即：

又在拋物線上，所以，

將代入上式可得：

整理得：

所以線段AF的中點M的軌跡方程為：

（2）依據題意作出圖形，如下：

設，且與的取值一正、一負

因為△AOB的面積是△BOF面積的3倍，所以直線的斜率存在，

且的面積是面積的2倍，

即：，整理得：

設直線的方程為：

聯立直線與拋物線方程可得：，整理得：.

所以，

由解得：.

所以直線的方程為：