Question

【題目】已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，P是橢圓E的上頂點，且.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關于y軸對稱，求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）由向量數量積的坐標運算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；

（2）當直線的斜率存在時，設直線，，，則，

由直線方程與橢圓方程聯立并消元后應用韋達定理得，然后寫出直線方程并變形后代入，可得定點坐標，再驗證直線斜率不存在時，直線也過這個定點即可．

解：（1）由題意得，，，

則，所以，

又，所以，，所以橢圓E的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線，，，則，

由，消去y得.由，

得，所以，.

，

直線的方程為，

即，

因為，，所以，

直線的方程為可化為，則直線恒過定點.

當直線的斜率不存在時，直線也過點，綜上知直線恒過定點.