Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）當時，設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點.直線的斜率為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析

【解析】

(1)由，分與兩類討論，可求得函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.
(2)由已知，即證,由于，即證，①設(shè)，②構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究這兩個函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)取值情況，可證結(jié)論.

（1）∵，

∴，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，由，得(舍負)

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）證明：由已知，即證.

∵，

∴即證，

①設(shè)，

∴， ∴，

∵，

∴，∴為增函數(shù)

∴， ∴為增函數(shù)

∴，

∴，

即，即，

∴，即，

②構(gòu)造函數(shù)，

∵，

， ∴，

∴在上為減函數(shù)，

∴，∴在上為減函數(shù)，∴，

∴，

∴，即成立.

由①②可知， ∴成立.