Question

已知函數f（x）=

x+b

ax2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數，且f（

1

3

）=

3

10

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求證：f（x）在（-1，1）上為增函數；
（3）解不等式：f（2t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的性質以及條件即可求函數f（x）的解析式；
（2）根據函數單調性的定義即可證明f（x）在（-1，1）上為增函數；
（3）根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化即可得到結論．

解答： 解：（1）因為函數f(x)=

x+b

ax2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數，
所以f（0）=0，即b=0，
又f(

1

3

)=

3

10

，所以a=1，所以f(x)=

x

x2+1

；
（2）證明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＞x₂，
則f(x1)-f(x2)=

(x1x2-1)(x2-x1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
因為x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＞x₂，所以x₁x₂-1＜0，x₂-x₁＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在（-1，1）上為增函數；
（3）因為f（2t-1）+f（t）＜0，所以f（2t-1）＜f（-t），
所以

2t-1＜-t -1＜2t-1＜1 -1＜t＜1

，解得0＜t＜

1

3

，
所以不等式解集為{t|0＜t＜

1

3

}．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和應用，綜合考查函數性質的綜合應用．