Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數奇偶性并給予證明；
（3）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：對數函數的單調區間

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求根據對數函數的性質即可求函數f（x）的定義域；
（2）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數奇偶性；
（3）根據復合函數單調性之間的關系即可求函數f（x）的單調區間．

解答： 解：（1）要使函數有意義，則

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
即函數f（x）的定義域為（-1，1），
（2）函數為奇函數，∵函數的定義域關于原點對稱，
∴f（-x）=log₂

1-x

1+x

=f（x）=log₂（

1+x

1-x

）^-1=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
故函數f（x）是奇函數；
（3）設t=

1+x

1-x

=-

x+1

x-1

=-

x-1+2

x-1

=-1-

2

x-1

．
則當-1＜x＜1時，函數t=

1+x

1-x

單調遞增，而函數y=log₂t單調遞增．
則根據復合函數單調性之間的關系可知此時函數f（x）=log₂

1+x

1-x

單調遞增，
故函數的單調遞增區間為（-1，1）．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，綜合考查了函數的定義域，奇偶性和單調性的判斷．