Question

已知函數f（x）=

3

sin2x-2sin²x+a（a∈R）
（1）若x∈R，求f（x）的單調遞增區間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并指出此時x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1+a，利用正弦函數的單調性即可求得f（x）的單調遞增區間；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，于是可求f（x）的最大值為4時a的值及此時x的值．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x-1+a=2sin(2x+

π

6

)-1+a，
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，(k∈Z)
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，f（x）有最大值f（x）_max=1+a，
∵1+a=4，∴a=2，此時x=

π

6

．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查正弦函數的單調性與最值，考查化歸思想與運算求解能力，屬于中檔題．