Question

【題目】已知函數f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)， .

(1)討論函數y＝f(x)－g(x)的單調性；

(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時恒成立，求實數a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求導數可得，當時，函數在上單調遞增，當時，令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（2）由（1）知，當時，不等式，在時恒成立，當時，可證明存在 使得不等式不成立，綜合可得取值范圍.

試題解析：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，

y′＝－＝，

當a≥1時，y′≥0，所以函數y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數；

當0<a<1時，由y′>0得x>2，所以函數y＝f(x)－g(x)在上是單調遞增函數，函數y＝f(x)－g(x)在上是單調遞減函數；

(2)當a≥1時，函數y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數．

所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，

即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時恒成立，

當0<a<1時，函數y＝f(x)－g(x)是上的減函數，存在x0∈，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，

綜上，實數a的取值范圍是[1，＋∞)．