Question

【題目】已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．

（1）若tanα=2，求tanβ的值；

（2）求tan（α-β）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直接利用三角函數關系式的恒等變換求出結果．

（2）利用（1）的結論，進一步根據基本不等式（或者是對勾函數的性質）求出結果．

解：（1）已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．

則：sinαcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ，

整理得sinαcosβ=2cosαsinβ，

所以tanα=2tanβ．

由于tanα=2，

所以tanβ=1．

（2）由（1）得tanα=2tanβ，

所以tan（α-β）=，

=，

由于，

所以tanα＞0，tanβ＞0．

由于，

所以=，

故tan（α-β）的最大值為．