Question

【題目】已知函數f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．

(1)如果函數g(x)的單調遞減區間為，求函數g(x)的解析式；

(2)若不等式2f(x)≤＋2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）求出,由函數g(x)的單調遞減區間為可得是方程的兩根，根據韋達定理可求得的值，從而可得結果；（2）原不等式恒成立，等價于對恒成立，令，利用導數研究函數 的單調性，利用單調性求得h(x)最大值為－2,從而可得實數的取值范圍.

試題解析：(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1由題意3x2＋2ax－1＜0的解集是，

即3x2＋2ax－1＝0的兩根是－和1.

將x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0得a＝－1.

所以g(x)＝x3－x2－x＋2.

(2)2f(x)≤g′(x)＋2對x∈(0，＋∞)恒成立，

即：2xln x≤3x2＋2ax＋1對x∈(0，＋∞)恒成立，

可得a≥ln x－x－對x∈(0，＋∞)恒成立，

設h(x)＝ln x－－，則h′(x)＝－＋＝－，

令h′(x)＝0，得x＝－ (舍)或x＝1，

當0＜x＜1時，h′(x)＞0；當x＞1時，h′(x)＜0，

所以當x＝1時，h(x)取得最大值，最大值為－2，

所以a≥－2.

所以實數a的取值范圍是[－2，＋∞)．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題(2)是利用方法 ① 求得 的取值范圍.