Question

【題目】在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（ ）

A.[，]B.[，]C.[，]D.[，]

Answer 1

【答案】B

【解析】

分別取棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)M、N，連接MN，可證平面AMN∥平面BDEF，得P點(diǎn)在線段MN上．由此可判斷當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí)，AP最小；當(dāng)P與M或N重合時(shí)，AP最大．然后求解直角三角形得答案．

如圖所示，分別取棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)M、N，連接MN，連接B1D1，

∵M、N、E、F為所在棱的中點(diǎn)，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，

∴MN∥EF，又MN平面BDEF，EF平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；

連接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，

可得NF∥AB，NF＝AB，則四邊形ANFB為平行四邊形，

則AN∥FB，而AN平面BDEF，FB平面BDEF，則AN∥平面BDEF．

又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．

又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且AP∥平面BDEF，∴P點(diǎn)在線段MN上．

在Rt△AA1M中，AM，

同理，在Rt△AA1N中，求得AN，則△AMN為等腰三角形．

當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí)，AP最小為，

當(dāng)P與M或N重合時(shí)，AP最大為．

∴線段AP長度的取值范圍是[，]．

故選：B．