Question

【題目】已知橢圓的左右兩個焦點為，離心率為，過點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線與橢圓C相交于兩點，橢圓的左頂點為，連接并延長交直線于兩點 ，分別為的縱坐標，且滿足.求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由離心率e＝ 和橢圓過點（，1）得a，b，c關系，解方程組，即可得到a，b，從而求出橢圓方程；（2）聯立直線l方程和橢圓方程，得到關于x的二次方程，由判別式大于0，運用韋達定理，將已知條件化簡整理，可得k，m的等量關系，結合直線l的方程，即可判斷直線恒過的定點．

（1）由 ,過點

解得，，故橢圓C的方程為.

（2）聯立消去y，

得，

則，

又、

，

設直線MA：，則，同理

∵， ∴，即，

∴， ∴，

即.

∴

∴，故.

故直線方程為，可知該直線過定點．