Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，直線x+y+ =0與橢圓E僅有一個公共點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l被圓O：x2+y2=3所截得的弦長為3，且與橢圓E交于A、B兩點，求△ABO面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，即 ，∴a2=2b2，

則橢圓方程為x2+2y2﹣2b2=0．

聯立 ，消去y得， ，

由 ，解得：b2=1．

∴橢圓方程為：

（2）解：∵直線l被圓O：x2+y2=3所截得的弦長為3，

∴原點O到直線l的距離為 ．

①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=± ，代入橢圓 ，得y= ，

不妨設A（ ），B（ ），

則 ；

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，即kx﹣y+m=0，

由 ，得4m2=3k2+3．

聯立 ，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

，

∴|AB|= = = ．

設k2=t，

令y= ，則（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，

當y= 時，可得t= ，符合題意；

當y 時，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y 且y ．

綜上，y ．

∴當斜率存在時， = ．

綜①②可知，△ABO面積的最大值為

【解析】（1）由橢圓的離心率可得a2=2b2 ， 得到橢圓方程x2+2y2﹣2b2=0，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式等于0求得b2 ， 則橢圓方程可求；（2）由直線l被圓O：x2+y2=3所截得的弦長為3，得到坐標原點到直線l的距離為 ，然后分直線l的斜率存在和不存在兩種情況求△ABO面積，當直線l的斜率不存在時，直接求解，當直線l的斜率存在時，設出直線方程y=kx+m，由原點到直線的距離列式，把m用含有k的代數式表示，然后再由弦長公式求得弦長，換元后利用判別式法求得弦長的最大值，求出斜率存在時△ABO面積的最大值，最后比較得答案．