Question

【題目】已知橢圓的左右頂點分別為，左焦點為，已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線與該橢圓交于兩點，且線段的中點恰為點，且直線的方程；

（3）若經過點的直線與橢圓交于兩點，記與的面積分別為和，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據橢圓的離心率公式將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用點差法即可求出直線PQ的方程．（3）分類討論，設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及基本不等式的性質，即可求得|S1-S2|的取值范圍．

（1）因為e＝＝＝，則3a2＝4b2，將（1，）代入橢圓方程： +＝1，解得：a＝2，b＝，所以橢圓方程為+＝1；

（2）設P（xP，yP），Q（xQ，yQ），∵線段PQ的中點恰為點N，∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1， +＝1，兩式相減可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，∴＝﹣，即直線PQ的斜率為﹣，∴直線PQ的方程為y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.

（3）當直線l無斜率時，直線方程為x＝1，此時C（1，﹣），D（1，），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|＝0，

當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y＝k（x﹣1），

設C（x1，y1），D（x2，y2），聯立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，

顯然△＞0，方程有根，且x1+x2＝，x1x2＝，

此時|S1﹣S2|＝2|y2|﹣|y1|＝2|y2+y1|＝，

因為k≠0，則|S1﹣S2|＝＝≤＝，（k＝±時等號成立）

所以|S1﹣S2|的最大值為，則0≤|S1﹣S2|≤，

∴|S1﹣S2|的取值范圍[0，]．