Question

【題目】已知函數f(x)＝ln x－mx＋n，m，n∈R.

(1)若函數f(x)的圖像在點(1，f(1))處的切線為y＝2x－1，求m，n的值；

(2)求函數f(x)的單調區間；

(3)若n＝0，不等式f(x)＋m<0對x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）當m≤0時，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，無單調遞減區間；當m>0時，f(x)的單調遞增區間是(0，)，單調遞減區間是(，＋∞)； （3）[1，＋∞).

【解析】

（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點坐標，再由已知切線方程即可得到m，n；

（2求出導數，討論m的范圍，當m≤0時，當m＞0時，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；

（3）設g（x）=lnx﹣mx+m，即有g（x）max＜0在x＞1恒成立．求出g（x）的導數，對m討論，①當m≤0時，②當m＞0時，③當≤1即m≥1時，④當＞1即0＜m＜1時，通過單調性求得最大值，即可得到m的范圍．

函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．

(1)∵f′(x)＝－m，∴函數f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率k＝f′(1)＝1－m＝2，∴m＝－1.又∵f(1)＝1，∴－m＋n＝1，∴n＝0.

(2)∵f′(x)＝－m，當m≤0時，f′(x)>0恒成立，則f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，無單調遞減區間；當m>0時，由f′(x)>0得0<x<，由f′(x)<0，得x>.綜上所述：當m≤0時，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，無單調遞減區間；當m>0時，f(x)的單調遞增區間是(0，)，單調遞減區間是(，＋∞)．

(3)由f(x)＋m<0得ln x－mx＋m<0在(1，＋∞)上恒成立，設g(x)＝ln x－mx＋m，即g(x)max<0在(1，＋∞)上成立．g′(x)＝－m，由(2)知，當m≤0時，g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴對x∈(1，＋∞)，g(x)>g(1)＝0，即f(x)＋m>0(不合題意舍去)．當m>0時，g(x)的單調遞增區間是，單調遞減區間是.①當≤1，即m≥1時，g(x)在(1，＋∞)上單調遞減，∴對x∈(1，＋∞)，g(x)max<g(1)＝0，即f(x)＋m<0，符合題意．②當>1，即0<m<1時，g(x)在上單調遞增，在上單調遞減，∴對x∈(1，＋∞)，g(x)max＝g>g(1)＝0，不合題意，舍去．綜上所述，實數m的取值范圍是[1，＋∞).