Question

【題目】如圖所示，已知曲線C1：y=（x＞0）及曲線C2：y= (x>0)．C1上的點Pn的橫坐標為an，過C1上的點Pn(n∈N＋)作直線平行于x軸，交曲線C2于點Qn，再過點Qn作直線平行于y軸，交曲線C1于點Pn＋1.

試求an＋1與an之間的關系，并證明a2n－1<<a2n(n∈N＋)．

Answer 1

【答案】，證明見解析.

【解析】

由已知，Pn，從而有，由Qn在y=上，代入可得 ，由a1＞0，及 ，知an＞0，下證：

解法一：由=，可得an+1與異號，即可證明．

解法二：由 ，可得=，=，可得，利用等比數列的通項公式可得an，進而證明．

由已知，Pn，從而有，

因為Qn在y=上，所以有=，

解得 ，

由a1＞0，及 ，知an＞0，

下證：

解法一：因為=，所以an+1與異號，

注意到＜0，知＜0，＞0，

即

解法二：由 ，可得=，=，

所以有，即是以為公比的等比數列；

設，則

解得，

從而有

由可得，

所以，．

所以．