Question

【題目】如圖，已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．

（1）求橢圓C的方程；
（2）求 的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR||OS|為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，得a=2， ，

∴c= ，b= =1，

故橢圓C的方程為

（2）解：方法一：點M與點N關于x軸對稱，

設M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨設y1＞0．

由于點M在橢圓C上，所以 ． （*）

由已知T（﹣2，0），則 ， ，

∴

=（x1+2）2﹣

=

= ．

由于﹣2＜x1＜2，

故當 時， 取得最小值為 ．

由（*）式， ，故 ，

又點M在圓T上，代入圓的方程得到 ．

故圓T的方程為： ．

方法二：點M與點N關于x軸對稱，

故設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨設sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），

則

=（2cosθ+2）2﹣sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

= ．

故當 時， 取得最小值為 ，

此時 ，

又點M在圓T上，代入圓的方程得到 ．

故圓T的方程為： ．

（3）解：方法一：設P（x0，y0），

則直線MP的方程為： ，

令y=0，得 ，

同理： ，

故 （**）

又點M與點P在橢圓上，

故 ， ，

代入（**）式，

得： ．

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值．

方法二：設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨設sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

則直線MP的方程為： ，

令y=0，得 ，

同理： ，

故 ．

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值

【解析】（1）依題意，得a=2， ，由此能求出橢圓C的方程．（2）法一：點M與點N關于x軸對稱，設M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），設y1＞0．由于點M在橢圓C上，故 ．由T（﹣2，0），知 = ，由此能求出圓T的方程．
法二：點M與點N關于x軸對稱，故設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），設sinθ＞0，由T（﹣2，0），得 = ，由此能求出圓T的方程．（3）法一：設P（x0 ， y0），則直線MP的方程為： ，令y=0，得 ，同理： ，…故 ，由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值．
法二：設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），設sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為： ，由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值．
【考點精析】掌握圓的標準方程和橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．