Question

【題目】已知各項均不為0的數列{an}滿足a1=a，a2=b，且an2=an﹣1an+1+λ（n≥2，n∈N），其中λ∈R．
（1）若λ=0，求證：數列{an}是等比數列；
（2）求證：數列{an}是等差數列的充要條件是λ=（b﹣a）2；
（3）若數列{bn}為各項均為正數的等比數列，且對任意的n∈N* ， 滿足bn﹣an=1，求證：數列{（﹣1）nanbn}的前2n項和為常數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若λ=0，則an2=an﹣1an+1，n≥2，n∈N，

即有 = = =…= = = ，

則數列{an}是首項為a，公比為 的等比數列

（2）證明：①若數列{an}是等差數列，可得公差為b﹣a，首項為a，

即有an=a+（n﹣1）（b﹣a），

則λ=an2﹣an﹣1an+1=[a+（n﹣1）（b﹣a）]2﹣[a+（n﹣2）（b﹣a）][a+n（b﹣a）]

=2a（n﹣1）（b﹣a）+（n﹣1）2（b﹣a）2﹣n（n﹣2）（b﹣a）2﹣（2n﹣2）a（b﹣a）=（b﹣a）2；

②若λ=（b﹣a）2，即an2=an﹣1an+1+（b﹣a）2，（n≥2，n∈N），

由a1=a，a2=b，可得a22=a1a3+（b﹣a）2，解得a3=2b﹣a，

同樣可得a4=3b﹣2a，…，猜想an=（n﹣1）b﹣（n﹣2）a=n（b﹣a）+2a﹣b，

證明：當n=1時，a1=b﹣a+2a﹣b=a，成立；

當n=2時，a2=2b﹣2a+2a﹣b=b，成立；

假設n≤k（k≥2，k∈N）有ak=k（b﹣a）+2a﹣b，

且ak2=ak﹣1ak+1+（b﹣a）2，

可得ak+1= = = =（k+1）（b﹣a）+2a﹣b；

故當n=k+1時，ak+1=（k+1）（b﹣a）+2a﹣b，成立．

綜上可得，數列{an}是等差數列的充要條件是λ=（b﹣a）2

（3）證明：對任意的n∈N*，滿足bn﹣an=1，可得b1=1+a，b2=1+b，

公比為 ，bn=（1+a）（ ）n﹣1，

an=bn﹣1=（1+a）（ ）n﹣1﹣1，

即有（bn﹣1）2=（bn﹣1﹣1）（bn+1﹣1）+λ，

則（b2﹣1）2=（b1﹣1）（b3﹣1）+λ，

（b3﹣1）2=（b2﹣1）（b4﹣1）+λ，

可得b2﹣a（ ﹣1）=（ ﹣1）2﹣b（ ﹣1），

化簡整理可得a=b，

則（﹣1）nanbn=（﹣1）na（1+a），

則數列{（﹣1）nanbn}的前2n項和

﹣a（1+a）+a（1+a）﹣a（1+a）+a（1+a）﹣…+a（1+a）=0即為常數

【解析】（1）運用等比數列的定義，即可得到 = ，進而得到證明；（2）①若數列{an}是等差數列，運用等差數列的通項公式，代入即可得到λ=（b﹣a）2；②若λ=（b﹣a）2 ， 歸納，猜想an=（n﹣1）b﹣（n﹣2）a=n（b﹣a）+2a﹣b，再由數學歸納法證明即可；（3）求得bn=（1+a）（ ）n﹣1 ， 再由恒成立思想，可得（b2﹣1）2﹣（b1﹣1）（b3﹣1）=（b3﹣1）2﹣（b2﹣1）（b4﹣1），化簡整理可得a=b，進而得到（﹣1）nanbn=（﹣1）na（1+a），即可得到所求和．
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和等比關系的確定的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷才能正確解答此題．