Question

【題目】如圖所示，已知拋物線C1：x2＝2py的焦點在拋物線C2：，點P是拋物線C1上的動點．

(1)求拋物線C1的方程及其準線方程；

(2)過點P作拋物線C2的兩條切線，M，N分別為兩個切點，設點P到直線MN的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由題意拋物線C1的焦點為拋物線C2的頂點（0，1），由此算出p=2，從而得到拋物線C1的方程，得到C1的準線方程；（2）設P（2t，t2），用直線方程的點斜式列出直線PM方程并將點P坐標代入，化簡可得 同理得到．然后利用一元二次方程根與系數的關系，算出x1+x2=4t，x1x2=2t2﹣2，將直線MN的兩點式方程化簡并代入前面算出的式可得MN的方程為y=2tx+2﹣t2．最后利用點到直線的距離公式列式，采用換元法并且運用基本不等式求最值，即可算出P到直線MN的距離d的最小值為．

(1)C1的焦點為，所以＝0＋1，得p＝2.故C1的方程為x2＝4y，其準線方程為y＝－1.

(2)設P(2t，t2)，M，N，則PM的方程為y－＝x1(x－x1)，將P點坐標代入得t2＝2tx1－x＋1，即x－4tx1＋2t2－2＝0，同理得x－4tx2＋2t2－2＝0.MN的方程為y－＝ (x－x1)，即y－＝ (x1＋x2)(x－x1)．

由得x1＋x2＝4t， x－2tx1＝1－t2，所以直線MN的方程為y＝2tx＋2－t2.

于是d＝＝2.

令s＝1＋4t2(s≥1)，則d＝≥＝ (當且僅當s＝3時取等號)，

所以d的最小值為.