Question

【題目】如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點，且拋物線C1上點M處的切線與圓C2：x2+y2=1相切于點Q．

（Ⅰ）當直線MQ的方程為 時，求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）當正數p變化時，記S1 ， S2分別為△FMQ，△FOQ的面積，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點 ，由x2=2py（p＞0）得， ，求導 ，
而直線MQ的斜率為1，
∴ 且 ，
解得： ．
∴拋物線的標準方程：x2=4 y；
（Ⅱ）因為點M處的切線方程為： ，即 ，
根據切線又與圓相切，得d=r，即 ，化簡得 ，
4p2=x04﹣4x02＞0，解得：丨x0丨＞2，
由方程組 ，解得：Q（ ， ），
由丨PQ丨= 丨xP﹣xQ丨= 丨x0﹣ 丨= （x02﹣2），
點F（0， ）到切線PQ的距離d= = = ，
則S1= 丨PQ丨d= （x02﹣2），S1= 丨OF丨丨xQ丨= ，
∴ = = = = + +3≥2 +3，
當且僅當 = 時，取“=”號，即x02=4+2 ，此時p= ，
所以 的最小值為

【解析】（Ⅰ）求導，根據導數的幾何意義，求得 且 ，即可求得p的值，求得拋物線的標準方程；（Ⅱ）求得切線方程，利用點到直線的距離公式可知 ，將切線方程代入橢圓方程，求得丨PQ丨，分別表示出S1 ， S2 ， 根據基本不等式的性質，即可求得 的最小值．