Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，在定義域內恒成立，求實數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函數的的定義域以及導函數，分類討論，，情況下導數的正負，由此得到答案；

（Ⅱ）結合（Ⅰ）可得函數的最小值，要使在定義域內恒成立，則恒成立，令，利用導數求出的最值，從而得到實數的值。

（Ⅰ）由題可得函數的的定義域為，；

（1） 當時，恒成立，則單調遞增區間為，無單調遞減區間

（2） 當時，恒成立，則單調遞增區間為，無單調遞減區間；

（3） 當時，令，解得：，令，解得：，則單調遞增區間為，單調遞減區間為；

綜述所述：當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時， 單調遞增區間為，單調遞減區間為，則；

所以在定義域內恒成立，則恒成立，即，

令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以的單調增區間為，單調減區間為，則

所以當時，恒成立，即在定義域內恒成立，

故答案為