Question

【題目】已知函數

（1）若函數有兩個零點，求的取值范圍；

（2）證明：當時，關于的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

(1)先利用導數求函數的單調區間和最大值，再通過數形結合分析得到的取值范圍.(2)先轉化為，再構造函數求得它的最大值，再證明＜-3,原題得證.

（1）令，；

令，，

令，解得，令，解得，

則函數在上單點遞增，在上單點遞減，。

要使函數有兩個零點，則函數的圖像與有兩個不同的交點。

則，即實數的取值范圍為。

（2），；

設，；

設，，則在上單調遞增.

又，.，使得，即，.

當時，；當時，；

在上單調遞增，在上單調遞減.

.

設，.

當時，恒成立，則在上單調遞增，

，即當時，.

當時，關于的不等式在上恒成立.