Question

【題目】已知．

(1)當＝－1時，求的單調區間及值域；

(2)若在()上為增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的值域為(－∞，2－log23]．增區間為，減區間為.（2）

【解析】

(1) 當a＝－1時，f(x)＝log(x2＋x＋1)，log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域為(－∞，2－log23]．由對數式的真數大于0求得函數的定義域，得到內函數的單調區間，結合復合函數的單調性得答案．

(2)用復合函數的單調性來求解，令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，

由“若f(x)在上為增函數，”，可知u(x)應在上為減函數且

u(x)＞0在恒成立．再用“對稱軸在區間的右側，且最小值大于零”求解可得結果．

解　(1)當a＝－1時，f(x)＝log(x2＋x＋1)，

∵x2＋x＋1＝2＋≥，

∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域為(－∞，2－log23]．

∵y＝x2＋x＋1在上遞減，在上遞增，y＝logx在(0，＋∞)上遞減，

∴f(x)的增區間為，

減區間為.

(2)令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，

∵f(x)在上為單調增函數，

又∵y＝logu(x)為單調減函數，

∴u(x)在上為單調減函數，且u(x)＞0在上恒成立.

因此即

解得－1≤a≤.

故實數a的取值范圍是.