Question

【題目】如圖，幾何體EF-ABCD中，四邊形CDEF是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB是腰長為2的等腰直角三角形，平面CDEF⊥平面ABCD．

（1）求證：BC⊥AF；

（2）求幾何體EF-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出FC⊥CD，FC⊥BC，AC⊥BC，由此BC⊥平面ACF，從而BC⊥AF．

（2）推導出AC＝BC＝2，AB4，從而AD＝BCsin∠ABC＝22，由V幾何體EF﹣ABCD＝V幾何體A﹣CDEF+V幾何體F﹣ACB，能求出幾何體EF﹣ABCD的體積．

（1）因為平面CDEF⊥平面ABCD，

平面CDEF∩平面ABCD=CD，

又四邊形CDEF是正方形，

所以FC⊥CD，FC平面CDEF，

所以FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．

因為△ACB是腰長為2的等腰直角三角形，

所以AC⊥BC．

又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．

所以BC⊥AF．

（2）因為△ABC是腰長為2的等腰直角三角形，

所以AC=BC=2，AB==4，

所以AD=BCsin∠ABC=2=2，

CD=AB=BCcos∠ABC=4-2cos45°=2，

∴DE=EF=CF=2，

由勾股定理得AE==2，

因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD．

又AD⊥DC，DE∩DC=D，所以AD⊥平面CDEF．

所以V幾何體EF-ABCD=V幾何體A-CDEF+V幾何體F-ACB

=

=+

=

=．