Question

【題目】已知橢圓M：=1（a>b>c）的一個頂點坐標為（0，1），焦距為2.若直線y=x+m與橢圓M有兩個不同的交點A，B

（I）求橢圓M的方程；

（II）將表示為m的函數，并求△OAB面積的最大值（O為坐標原點）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）=1（II），（-2<m<2）；△OAB面積的最大值為

【解析】

（I）已知條件說明，，從而可得，得橢圓方程；

（II）把直線方程代入橢圓方程，設交點為，由判別式求得的取值范圍，用韋達定理求得，由弦長公式求得弦長，再求出點到直線的距離，從而得出的面積表示為的函數，由函數的知識可得最大值．

（I）由題意可知：c=,b=1

由得：a=

所以橢圓的標準方程為：=1

（II）設點A坐標為（）、點B坐標為（）

聯立直線與橢圓的方程，消去y

整理得4+6mx+3-3=0

由直線與橢圓相交可得：△=36-16（3-3）>0,即<4

解得：-2<m<2

=-,=

點O到直線l的距離d=

所以

=(-2<m<2)

當，即m=±時，△OAB面積的最大值為