Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4，最小值1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）= ．若不等式g（2x）﹣k2x≥0對任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵二次函數f（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0），
∴f（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+b，
∴函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x=1，
∵a＞0，∴f（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+b在區間[2，3]上遞增．
∵二次函數f（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，
∴依題意得 ，解得 ，
∴f（x）=x2﹣2x+1．…6 分
（Ⅱ）∵g（x）= ，∴g（x）= =x+ ，
∵不等式g（2x）﹣k2x≥0對任意x∈[1，2]恒成立，
∴ 對任意x∈[1，2]時恒成立，
∴k≤（ ）2﹣2（ ）+1對任意x∈[1，2]時恒成立
只需k≤[（ ）2﹣2（ ）+1]min ，
令t= ，由x∈[1，2]，得t∈[ ]，
設h（t）=t2﹣2t+1，
∵h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2 ，
當t= ，即x=1時，h（t）取得最小值 ．
∴k≤h（t）min=h（ ）= ．
∴k的取值范圍為（﹣∞， ]
【解析】（Ⅰ）f（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+br 對稱軸方程為x=1，在區間[2，3]上遞增，由此列出方程組能求出a，b，從而能求出f（x）的解析式．（Ⅱ）由g（x）= =x+ ，得 對任意x∈[1，2]時恒成立，從而只需k≤[（ ）2﹣2（ ）+1]min ， 由此能求出k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．