Question

【題目】設函數f（x）= （x＞0），數列{an}滿足 （n∈N* ， 且n≥2）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1 ， 若Tn≥tn2對n∈N*恒成立，求實數t的取值范圍；
（3）是否存在以a1為首項，公比為q（0＜q＜5，q∈N*）的數列{a }，k∈N* ， 使得數列{a }中每一項都是數列{an}中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列{nk}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，（n∈N*，且n≥2），

所以an﹣an﹣1= ．

因為a1=1，

所以數列{an}是以1為首項，公差為 的等差數列．

所以an=

（2）解：①當n=2m，m∈N*時，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣ =﹣ =﹣ ．

②當n=2m﹣1，m∈N*時，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=﹣ = ．

所以Tn=

要使Tn≥tn2對n∈N*恒成立，

只要使﹣ ，（n為偶數）恒成立．

只要使﹣ ，對n為偶數恒成立，

故實數t的取值范圍為

（3）解：由an= ，知數列{an}中每一項都不可能是偶數．

①如存在以a1為首項，公比q為2或4的數列{ank}，k∈N*，

此時{ank}中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a1為首項，公比為偶數的數列{ank}．

②當q=1時，顯然不存在這樣的數列{ank}．

當q=3時，若存在以a1為首項，公比為3的數列{ank}，k∈N*．

則 =1，n1=1， = ，nk= ．

所以滿足條件的數列{nk}的通項公式為nk=

【解析】（1）由 ，（n∈N* ， 且n≥2），知 ．再由a1=1，能求出數列{an}的通項公式；（2）當n=2m，m∈N*時，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）= = = ．當n=2m﹣1，m∈N*時，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1= = ．由此入手能求出實數t的取值范圍．（3）由 ，知數列{an}中每一項都不可能是偶數．如存在以a1為首項，公比q為2或4的數列{ank}，k∈N* ， 此時{ank}中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a1為首項，公比為偶數的數列{ank}．當q=1時，顯然不存在這樣的數列{ank}．當q=3時， ，n1=1， ， ．所以滿足條件的數列{nk}的通項公式為 ．