Question

【題目】已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足（2，2）

（1）求拋物線Γ的方程；

（2）已知經過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；；（2）直線NL恒過定點（﹣3，0），理由見解析.

【解析】

（1）根據拋物線的方程，求得焦點F（，0），利用（2，2），表示點P的坐標，再代入拋物線方程求解.

（2）設M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因為A（3，﹣2），B（3，﹣6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y2＝12，然后表示直線NL的方程為：y﹣y1（x），代入化簡求解.

（1）由拋物線的方程可得焦點F（，0），滿足（2，2）的P的坐標為（2，2），P在拋物線上，

所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；

（2）設M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，

直線MN的斜率kMN，

則直線MN的方程為：y﹣y0（x），

即y①，

同理可得直線ML的方程整理可得y②，

將A（3，﹣2），B（3，﹣6）分別代入①，②的方程

可得，消y0可得y1y2＝12，

易知直線kNL，則直線NL的方程為：y﹣y1（x），

即yx，故yx，

所以y（x+3），

因此直線NL恒過定點（﹣3，0）．