Question

【題目】如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，點恰好在線段的垂直平分線上，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且平面底面，如圖2所示，是線段的中點.

（1）證明：平面；

（2）若三棱錐的體積為1，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

（1）由直角梯形中各線段關系，得到，結合平面底面，可得，結合，得到平面，從而有，通過三線合一得到，即可證明平面；

（2）利用（1）中結論及已知條件，證明平面，利用表示出三棱錐的體積，列方程解出的值即可.

（1）在直角梯形中，

點恰好在線段的垂直平分線上，.

即為線段的垂直平分線，即是線段的中點，

，

又，，，

四邊形為矩形，

，平面底面，

平面底面，

底面，

又底面，

.

又，，平面，平面，

平面，

又平面，

，

是線段的中點，，

，

又，平面，平面，

平面.

（2）由（1）知，底面，

又底面

，

又，，平面，平面，

平面，

是線段的中點，

到平面的距離為，

由（1）及，得，

而，

解得.