Question

【題目】已知函數．

（1）當a＝3時，求函數y＝f（x）的圖象在x＝0處的切線方程；

（2）當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝5x；（2）a≥﹣2．

【解析】

（1）求導，利用導數的幾何意義求得斜率，然后用點斜式求得直線方程；

（2）求導后分與討論函數的單調性.求出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，

當時，3x﹣1，

則，

，又，

∴切點為斜率的切線方程為：；

（2）令，若時，

則，，

∴x≥0時，f（x）≥0恒成立，等價于t≥1時，，

令g（t）＝alnt3t﹣4，g（1）＝0，g′（t）3，

設h（t）＝3t2+at﹣1，則h（t）恒過（0，﹣1）點，

①當h（1）≥0，即時，h（t）≥0在t≥1恒成立，

∴g（t）在t≥1時單調遞增，∴g（t）≥g（1）＝0恒成立，

②設拋物線h（t）＝3t2+at﹣1與x軸的兩個交點分別為t1，t2，且t1＜t2，

當h（1）＜0時，即a＜﹣2時，h（t）＜0，在t∈（1，t2）恒成立，

∴g′（t）＜0在t∈（1，t2）恒成立，g（x）在（1，t2）時單調遞減，

∴g（t）＜g（1）＝0在t∈（1，t2）恒成立，

不滿足g（t）＞0恒成立，

綜上所述a≥﹣2．