【題目】在長方體
中，底面
是邊長為
的正方形，
是
的中點，
是
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若
，求平面與平面
所成二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，利用中位線定理得出
，再證明出四邊形
為平行四邊形，可得出
，進而得出
，然后利用線面平行的判定定理可得出結論；
（2）以點
為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能計算出平面
與平面
所成二面角的余弦值，進而利用同角三角函數的基本關系可得出結果.
（1）連接，
、
分別為
、
的中點，所以，
在長方體
中，
且
，
所以，四邊形為平行四邊形，
，
，
平面，
平面，
平面；
（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則
、
、
、
、
、
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，
由
，令
，可得
，得
，
設平面的法向量為
，
由
，令
，得
，得
，
設平面與平面所成二面角的大小為
，
，則
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個居民月均用水量標準：用水量不超過a的部分按照平價收費，超過a的部分按照議價收費）．為了較為合理地確定出這個標準，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），制作了頻率分布直方圖，
（Ⅰ）用該樣本估計總體：
（1）估計該市居民月均用水量的平均數；
（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出標準，則月均用水量a的最低標準定為多少噸？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，現從該市某大型生活社區隨機調查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超過2.5噸的人數為X，求X的分布列和均值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究“教學方式”對教學質量的影響，某高中老師分別用兩種不同的教學方式對入學數學平均分數和優秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學（勤奮程度和自覺性都一樣）．以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數學期末考試成績．
（1）現從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為87分的同學至少有一名被抽中的概率；
（2）學校規定：成績不低于75分的為優秀．請填寫下面的2×2列聯表，并判斷有多大把握認為“成績優秀與教學方式有關”．
甲班 | 乙班 | 合計 | |
優秀 | |||
不優秀 | |||
合計 |
參考公式：
，其中
參考數據：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大學生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至12月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價
和銷售量
之間的一組數據如下表所示：
月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
銷售單價 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
銷售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
（1）根據7至11月份的數據，求出
關于
的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過0.5元，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？
（3）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關系，若該種機器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）．
參考公式：回歸直線方程
，其中
，參考數據： 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了了解高一新生是否愿意參加軍訓，隨機調查了80名新生，得到如下2×2列聯表
愿意 | 不愿意 | 合計 | |
男 | x | 5 | M |
女 | y | z | 40 |
合計 | N | 25 | 80 |
（1）寫出表中x，y，z，M，N的值，并判斷是否有99.9%的把握認為愿意參加軍訓與性別有關；
（2）在被調查的不愿意參加軍訓的學生中，隨機抽出3人，記這3人中男生的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．
參考公式：
附：
P（K2≥k0） | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．
（1）若a＝e，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】微信運動是由騰訊開發的一個類似計步數據庫的公眾賬號，很多手機用戶加入微信運動后，為了讓自己的步數能領先于朋友，運動的積極性明顯增強．微信運動公眾號為了解用戶的一些情況，在微信運動用戶中隨機抽取了100名用戶，統計了他們某一天的步數，數據整理如下：
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| 5 | 20 | 50 | 18 | 3 | 3 | 1 |
（Ⅰ）根據表中數據，在如圖所示的坐標平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標明各小長方形的高；
（Ⅱ）若視頻率分布為概率分布，在微信運動用戶中隨機抽取3人，求至少2人步數多于1.2萬步的概率；
（Ⅲ）若視頻率分布為概率分布，在微信運動用戶中隨機抽取2人，其中每日走路不超過0.8萬步的有
人，超過1.2萬步的有
人，設
，求的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足
（2，2
）
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）已知經過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．
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