Question

【題目】設點O為坐標原點，橢圓E： （a≥b＞0）的右頂點為A，上頂點為B，過點O且斜率為 的直線與直線AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；
（Ⅱ）PQ是圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一條直徑，若橢圓E經過P，Q兩點，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓E： （a≥b＞0）的右頂點為A，上頂點為B，

∴A（a，0），B（0，b）， ，∴M（ ， ）．

∴ ，解得a=2b，

∴ ，

∴橢圓E的離心率e為 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓E的方程為 ，即x2+4y2=4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點，且 ．

由對稱性可知，PQ與x軸不垂直，

設其直線方程為y=k（x﹣2）+1，代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ， ，

由 得 ，解得 ．

從而x1x2=8﹣2b2．

∴ ．

解得：b2=4，a2=16，∴橢圓E的方程為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出A（a，0），B（0，b），M（ ， ），從而 ，進而a=2b，由此能求出橢圓E的離心率．（Ⅱ）設橢圓E的方程為 ，設直線PQ的方程為y=k（x﹣2）+1，與橢圓聯立得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、弦長公式，求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．