Question

【題目】已知函數= ,其中.

(1)證明:當時,函數在上為增函數;

(2)設函數= ,若函數只有一個零點,求實數的取值范圍,并求出該零點(可用表示).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）作差變形，提取公因式，再根據指數函數單調性確定符號，最后根據單調性定義確定增減性（2）先化為關于二次方程，再根據對稱軸與定義區間位置關系確定二次函數零點，進而確定實數的取值范圍.

試題解析：(1)設,

由=得==

因為,

所以,即

又,所以即

所以在上為增函數.

(2) = =

令,得=

即=,

因為只有一個零點,

即方程=只有一解,

設,則

令= ,問題轉化為函數只有一個正的零點,

時,因為,所以對稱軸在的右側

又

所以僅當時, 只有一個正的零點,

故,解得,

此時, ,

由;

解得的零點為.

②當時,因為=,

所以對稱軸在的左側,

在上為減函數,

又= =,

所以在上僅有一個零點,

因而在上僅有一個零點,此時=

由=知,零點為,

綜上,所求的取值范圍是或,

且當時,零點為,

當時,零點為.