Question

【題目】如圖，點P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點，直線PO與⊙O相交于點A、B.

（1）若∠A＝30°，求證：PA＝3PB；

（2）小明發現，∠A在一定范圍內變化時，始終有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.請你寫出推理過程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）推理過程見解析.

【解析】

(1)由直徑所對的圓周角是直角，以及∠A=30°可得∠ABC=60°，從而可判斷△OBC是等邊三角形，得到∠COB=60°，再結合切線的性質可求得∠P＝30°，繼而可推得PB=OB，再根據AB=2OB，即可確定AP與BP的數量關系；

(2)連接OC，由圓周角定理以及切線的性質結合等角對等邊可以推導得出∠BCP＝∠A，再由三角形內角和定理即可確定出兩角的關系.

(1)連接OC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

又∵∠A=30°，

∴∠ABC=90°-30°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=OC，∠COB=60°，

∵PC是⊙O的切線，OC是半徑，

∴∠OCP=90°，

∴∠P＝90°-∠BOC＝30°，

∴PO=2OC，

∴PB=OB，

∵AB=2OB，

∴AP=AB+PB=3PB；

(2)如圖，連接OC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，

∵PC是⊙O的切線，OC是半徑，

∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，

∴∠BCP=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠BCP＝∠A，

∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，

∴2∠BCP＝180°﹣∠P，

∴∠BCP＝(90°﹣∠P).