Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=，點D是邊BC上一點，點H是線段AD上一點，連接BH、CH．當∠BHD=60°，∠AHC=90°時，DH=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】如圖，作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，利用等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，再證明∠ABH=∠CAH，則可根據“AAS”證明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到HE=AH，AE=AH，則CH=AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可計算出AH=2，從而得到BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=1，接下來在Rt△BFH中計算出HF=，BF=，然后證明△CHD∽△BFD，利用相似比得到=2，從而利用比例性質可得到DH的長．

作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如圖，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，

∴∠ABH=∠CAH，

在△ABE和△CAH中，

∴△ABE≌△CAH，

∴BE=AH，AE=CH，

在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，

∴sin∠AHE=，HE=AH，

∴AE=AHsin60°=AH，

∴CH=AH，

在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，

∴BE=2，HE=1，AE=CH=，

∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，

在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，

∵BF∥CH，

∴△CHD∽△BFD，

∴=2，

∴DH=HF=×=，

故答案為：．