Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（3，1），二次函數y=x2的圖象記為拋物線l1．

（1）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經過點A，但不經過點B．請寫出平移后拋物線的解析式（任寫一個即可）；

（2）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經過A，B兩點，記為拋物線l2，求拋物線l2的函數關系式；

（3）如圖2，設拋物線l2的頂點為C，K為y軸上一點．若S△ABK=S△ABC，求點K的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1（2）（0，）或（0，）

【解析】

（1）可將拋物線b1向上平移，設平移后的拋物線的函數關系式：y=x2+b，由點A的坐標為（1，2），利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；

（2）根據題意可設拋物線b2的函數關系式為y=x2+bx+c，由點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（3，1），利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；

（3）首先根據題意求得點C的坐標，即可求得△ABC的面積，然后分別從點K在A的上方與下方去分析求解，即可求得點K的坐標．

解：（1）向上平移拋物線b1，使平移后的拋物線經過點A，

設平移后的拋物線的函數關系式：y=x2+b，

∵點A的坐標為（1，2），

∴2=1+b，

解得：b=1，

∴平移后的拋物線的函數關系式：y=x2+1；

∵點B的坐標為（3，1），

∴32+1≠1，

∴平移后的拋物線的函數關系式：y=x2+1；

故答案為：y=x2+1．

（2）設∵拋物線b2經過A，B兩點，

∴，

解得：，

∴拋物線b2的函數關系式為：y=x2﹣x+；

（3）∵y=x2﹣x+=（x﹣）2+，

∴點C的坐標為（，），

過點C作CG⊥y軸，BF⊥y軸，AE⊥y軸，

∴AE=1，BF=3，CG=，EF=2﹣1=1，FG=1﹣=，EG=2﹣=，

∴S△ABC=S梯形ABFE+S梯形BCGF﹣S梯形ACGE=（AE+BF）EF+（CG+BF）GF﹣（AE+CG）EG=，

若K在A點上方，坐標為（0，y）

S△ABK=S△BNK﹣S△AMK﹣S梯形ABNM=BNNK﹣AMMK﹣（AM+BN）MN=×3×（y﹣1）﹣×1×（y﹣2）﹣×（1+3）×1=，

∵S△ABK=S△ABC，

∴=，

解得：y=，

則點K（0，）；

同理：若K在A的下方時，則點K（0，）；

∴點K的坐標為（0，）或（0，）．