Question

【題目】如圖，點D是直角等腰△ABC斜邊AB的中點，M為邊AC上不和A、C重合的一動點，聯結DM，過D作DNDM，交BC于N，聯結MN．

(1)求證：以AM、MN、BN為邊的三角形是直角三角形

(2)如果AC2，AMx，試用x表示△DMN的面積，并求當ADM22．5時△DMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

（1）連接、MN，結合等腰直角三角形的性質利用ASA可證，由全等三角形的性質可得，，由是直角三角形可知以為邊的三角形時直角三角形；

（2）易知，，由勾股定理可得MN長，由（1）中可知，結合勾股定理可知MD長，根據三角形面積公式可用x表示出△DMN的面積，當ADM22．5時，可得，在中，根據勾股定理可得CD長，求出x值代入△DMN的面積的表達式中即可求解.

（1） 如圖，連接、MN，

是等腰直角三角形

點D是AB的中點

在和中，

∴

是直角三角形，即以為邊的三角形時直角三角形

∴以為邊的三角形時直角三角形

（2），由（1）知

在中，根據勾股定理得，

在中，根據勾股定理得

即 ，

所以

當時，，

，

在中，根據勾股定理得

由（1）知

，

，解得

將代入得.