Question

【題目】如圖，是邊長為9的等邊三角形，是邊上一動點，由向運動（與、不重合），是延長線上一動點，與點同時以相同的速度由向延長線方向運動（不與重合），過作于，連接交于

（1）若時，求的長

（2）當點，運動時，線段與線段是否相等？請說明理由

（3）在運動過程中線段的長是否發生變化？如果不變，求出線段的長；如果發生變化，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）當∠BQD=30° 時，AP=3；（2）相等，見解析；（3）DE的長不變，

【解析】

（1）先判斷出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性質得出QC＝2PC，建立方程求解決即可；

（2）先作出PF∥BC得出∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，進而判斷出△DBQ≌△DFP得出DQ＝DP即可得出結論；

（3）利用等邊三角形的性質得出EF＝AF，借助DF＝DB，即可得出DF＝BF，最后用等量代換即可．

（1）解：∵△ABC是邊長為9的等邊三角形

∴∠ACB=60°，且∠BQD=30°

∴∠QPC=90°

設AP=，則PC=，QB=

∴QC=

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°

∴PC=QC 即

解得

∴ 當∠BQD=30° 時，AP=3

（2）相等,

證明：過P作PF∥QC，則△AFP是等邊三角形

∴AP=PF,∠DQB=∠DPF

∵P、Q同時出發，速度相同，即BQ=AP，

∴BQ=PF，

在△DBQ和△DFP中，

∴△DBQ≌△DFP(AAS)

∴QD=PD

（3）解：不變,

由（2）知△DBQ≌△DFP

∴BD=DF

∵△AFP是等邊三角形，PE⊥AB，

∴AE=EF，

∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=為定值，即DE的長不變.