Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交切線AC于點C，OC與半圓O交于點E，連接BE，DE．

（1）求證：∠BED=∠C；

（2）若OA=5，AD=8，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=．

【解析】

（1）由切線的性質得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圓周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C；
（2）連接BD．由直徑直徑對的圓周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，從而求得AC的值．

（1）證明：∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，

∴AB⊥AC．

則∠1+∠2=90°，

又∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

而∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C；

（2）解：連接BD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD===6，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA：BD=AC：DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=．