Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙Ｏ的切線，AD⊥CD于點D．E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連結OC，AC．

（1）求證：AC平分∠DAO．

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°．

①求∠OCE的度數．

②若⊙O的半徑為，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①45°；② -1

【解析】

（1）利用切線的性質可得到OC⊥CD，由此可證得AD∥OC，利用平行線的性質及等邊對等角去證明∠DAC=∠OAC，由此可證得結論；

（2）①利用平行線的性質，可求出∠EOC的度數，再利用三角形內角和定理求出∠OCE的度數；②作OG⊥CE于點G，利用垂徑定理可得到FG=CG，再利用解直角三角形求出CG=OG的長，在Rt△OGE中，利用勾股定理求出GE的長，然后根據EF=GE-FG即可求出EF的長.

（1）證明：∵直線CD與⊙O相切，

∴OC⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA，

又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠DAO；

（2）解：①由(1)可知AD∥OC，

∵∠DAO=105°，

∴∠EOC=∠DAO=105°，

∵∠E=30°，

∴∠OCE=45°，

②作OG⊥CE于點G，

由垂徑定理可得FG=CG，

∵OC= ，∠OCE=45°，

∴CG=OG=1，

∴FG=1，

∵在Rt△OGE中，∠E=30°，

∴GE=，

∴EF=GE-FG=-1.