Question

8．問題探究
（1）如圖1，點E為矩形ABCD內一點，請過點E作一條直線，將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為對角線AC上一點，且AC=3AP，請問在邊CD上是否存在一點E，使得直線PE將矩形ABCD的面積分為2：3兩部分，如果存在求出DE的長；如果不存在，請說明理由；
解決問題
（3）如圖3，現有一塊矩形空地ABCD，AB=80米，BC=60米，P為對角線AC上一點，且PC=3AP，計劃在這塊空地上修建一個四邊形花園AECF，使得E、F分別在線段AD、AB上，且EF經過點P，若每平方米的造價為100元，請求出修建該花園所需費用的范圍（其他費用不計）．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD交于點O，作直線EO，直線EO將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分．
（2）如圖2中，作MN∥BC，使得四邊形BCMN的面積=$\frac{1}{5}$四邊形ABCD的面積，連接AM、DN交于點O，作直線OP交CD于E，交AB于H，此時四邊形ADEH的面積：四邊形BCEH的面積=2：3．易知CM=BN=$\frac{8}{5}$，DM=AN=$\frac{32}{5}$，由△EOM≌△HAO，得到AH=EM，設AH=EM=x，由AH∥EC，推出$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{x}{x+\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{8}{5}$，根據DE=DM-EM即可解決問題．
（3）如圖3中，連接BD交AC于O，作OM⊥AD于M，ON⊥AN于N．想辦法求出四邊形AECF的面積的最大值和最小值即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

連接AC、BD交于點O，作直線EO，直線EO將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠MCO=∠NAO，
在△MCO和△NAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCO=∠NAO}\\{∠COM=∠AON}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
△MCO≌△NAO，
∴S_△MCO=S_△NAO，
∵S_△ADC=S_△ABC，
∴S_{四邊形ANMD}=S_{四邊形BCMN}．

（2）如圖2中，作MN∥BC，使得四邊形BCMN的面積=$\frac{1}{5}$四邊形ABCD的面積，
連接AM、DN交于點O，作直線OP交CD于E，交AB于H，此時四邊形ADEH的面積：四邊形BCEH的面積=2：3．

易知：CM=BN=$\frac{8}{5}$，DM=AN=$\frac{32}{5}$，
由△EOM≌△HAO，得到AH=EM，設AH=EM=x，
∵AH∥EC，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{x+\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{8}{5}$，
∴DE=DM-EM=$\frac{32}{5}$-$\frac{8}{5}$=$\frac{24}{5}$．

（3）如圖3中，連接BD交AC于O，作OM⊥AD于M，ON⊥AN于N．

∵PC=3AP，OA=OC，
∴OP=OA，
∴過點P的任意直線將矩形ANOM的面積平分，
∵PC=3AP，
∴S_△EPC=3S_△EAP，
S_△PCF=3S_△APF，
∴S_{四邊形AECF}=4S_△AEF，
當直線EF與對角線MN重合時，△AEF的面積最小（△AEF的面積=$\frac{1}{2}$矩形AMON的面積+△FNG的面積，所以△AEF的面積＞△AMN的面積），最小值=$\frac{1}{2}$矩形AMON的面積=600m²，
∴四邊形AECF的面積的最小值為2400m²，
當點F與點B重合時，△NGF的面積最大，此時AE=$\frac{1}{3}$BC=20，
∴此時△AEF的面積最大，最大面積=$\frac{1}{2}$×80×20=800m²，
四邊形AECF的面積的最大值為3200m²，
∵每平方米的造價為100元
∴修建該花園所需費用w的范圍為240000元≤w≤320000元．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題，記住平行四邊形是中心對稱圖形，過對稱中心的任意直線平分平行四邊形的面積，屬于中考壓軸題．